Dos rectas en mismo plano.

Dada las siguientes parejas de rectas que se presentan a continuación, conteste las siguientes preguntas.

¿Qué tienen en común las parejas de rectas (a), (b) y (d)?

¿Qué tienen en común las parejas de rectas (c) y (e)?

Si observamos la pareja de rectas (a), (b) y (d) tienen un punto en común. Si observamos la pareja de rectas (c) y (e) no tienen punto en común. Lo que nos permite afirmar que en un plano puede suceder que dos rectas se corten o no se corten. Las rectas que se cortan se llaman concurrentes  y las rectas que no se cortan se llaman paralelas. Por tanto, podemos definir las rectas paralelas como aquellas que estando en un mismo  plano no se cortan, se denotan por el símbolo “//” que se lee “es paralela a”. Así en la Fig. la “c”, y la “e”, decimos                l₅ es paralela a l₆ y se simboliza l₅ // l₆ y l₉ es paralela a l₁₀ y se simboliza l₉ // l_10, respectivamente.

   

Observa la siguiente figura con rectas concurrentes analiza y contesta lo que se pregunta a continuación.

¿Cuántos ángulos forman cada par de rectas concurrentes?

¿Cómo son los ángulos opuestos por el vértice?

¿Cuál es la medida de cada uno de estos ángulos?

¿Cuáles de estas parejas de rectas tienen dos pares de ángulos distintos?

¿Cuáles de estas parejas de rectas tienen dos pares de ángulos iguales?

¿Cuánto miden los ángulos de las parejas de rectas que tienen los cuatro ángulos iguales?

 

Cuando en un mismo plano hay parejas de rectas concurrentes pueden darse dos situaciones. Veamos:

a)      Si las rectas concurrentes tienen un par de ángulos diferente al otro par, se les llama simplemente rectas concurrentes, como en la Fig. la “a” y la “b”.

b)      Si las rectas concurrentes tienen los dos pares de ángulos iguales, se les denomina rectas perpendiculares; porque sus cuatro ángulos son rectos, es decir igual a 90°. Para denotar que dos rectas son perpendiculares utilizaremos el símbolo “_┴” el cual se lee  “es perpendicular a”. Así podemos decir que en la Fig.   “c”  y en la ”d” hay rectas perpendiculares 

 

 

Ejemplos de rectas paralelas y perpendiculares

A continuación una serie de laboratorios para deducir algunas propiedades de las recta perpendiculares y paralelas.

 

Propiedades de las rectas paralelas

Laboratorio 1.                                 

 Procedimiento:

1.      En una hoja de papel construye con los dedos índice y pulgar de ambas manos un pliego.

2.      Nombra este pliego como la recta l₁.

3.       Superponlo y haz de la misma manera el nuevo pliego que se forma a doblarlo.

4.      Nombra el pliego del paso 3 como la recta l₂.

5.      Marca un punto P fuera de los pliegos construidos (formados).

6.      Superponga el segundo pliego l₂ de manera que al doblarse forme un nuevo pliego que pase por P.

¿Qué observas?  Trate de construir otro pliego que sea paralelo al primero y que pase por P. ¿Qué puedes concluir?

 

Propiedad  “Por un punto P, exterior a una recta dada, se puede trazar una y solo una recta paralela a la dada”

 

Laboratorio  2.                                

Procedimiento:

1.      En una hoja de papel haga un pliego con los dedos índice y pulgar de ambas manos.

2.      Nombra este pliego como la recta l₁.

3.      Superponga el pliego hecho y dóblelo para formar un nuevo pliego.

4.      Nombra este otro pliego como la recta l₂.

5.      Superponga el pliego hecho en el paso (a) y dóblelo para formar otro nuevo pliego.

6.      Nombra este tercer pliego como la recta l_3. ¿Cómo es la recta l₂ respecto a la recta l₃? ¿Serán paralelas?

¿Cómo es la recta l₃respecto a la recta l₂? ¿Serán paralelas? ¿A qué conclusión llegaste?

 

Propiedad: Simétrica. Si una recta es paralela a una segunda recta, esta es paralela a la primera.  Es decir, si l₂ // l₃, entonces l₃ // l₂.

 

 

 

 

Laboratorio 3.

Procedimiento:

1.      En una hoja de papel haga un pliego con los dedos índice y pulgar de ambas manos.

2.      Nombra este pliego como la recta l_1.

3.      Superponga el pliego hecho y dóblelo para formar un nuevo pliego.

4.      Nombra este otro pliego como la recta l₂.

5.      Superponga el pliego hecho en el paso 1 y dóblelo para formar otro nuevo pliego.

6.      Nombra este tercer pliego como la recta l₃.

7.      Superponga nuevamente el pliego del paso 1 y dóblelo para formar un pliego diferente a los ya construidos o formados.

8.      Nombra este cuarto pliego como la recta l_4.

*    ¿Cómo son las rectas l₂ y l₃?  ¿Cómo son las rectas l₃ y l₄? ¿Qué podrías decir de las rectas l₂ y l₄?

*    ¿Qué puedes concluir con esta experiencia?

 

Propiedad: Transitiva Si una recta es paralela a una segunda recta y esta paralela a una tercera recta, entonces, la primera recta es paralela a la tercera recta. Si l₂ // l₃ y l₃ // l₄, entonces l₂// l₄.

 

 

Laboratorio 4.                                 

Procedimiento:

1.      En una hoja de papel has un pliego con los dedos índice y pulgar de ambas manos.

2.      Nombra el pliego construido como l_1.

3.      Divide el pliego obtenido en dos partes, haciendo coincidir cada una de estas.

4.      Sujeta firmemente con los dedos índice y pulgar de ambas manos y marca el nuevo pliego a formarse.

5.      Nombra el pliego realizado en el paso 4 como l₂

1.      ¿Cómo es el pliego l₁, con respecto a l₂? ¿Cómo es el pliego, l₂con respecto a l₁?

2.      ¿Qué puedes concluir?

 

Respuesta: Si una recta es perpendicular a una segunda recta, entonces esta segunda recta es perpendicular la primera. ^. 

 

 

 

Laboratorio 5.                                 

Procedimiento:

1. Construye una recta l cualquiera.
2. Coloca un punto fuera de la recta y nómbralo como C.

3.      Traza rectas que sean perpendiculares a la anterior construida, pero que pase por el punto C, utiliza cualquiera de las formas ya vistas.

¿Qué puedes concluir después de haber trazado las rectas?

Respuesta: En un mismo plano por un punto fuera de una recta pasa una perpendicular a dicha recta y sólo una.

 

Veamos los ángulos que se forman cuando dos paralela son cortadas por una transversal y sus principales características.

 

Ángulos entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal.

Para ver los ángulos que se forman cuando una transversal corta a dos paralelas:

 

 

 

¿Qué puedes observar en los puntos en común de la transversal (l₃) con las otras rectas?

 

En cada punto de intersección se forman cuatro ángulos, por lo que las dos paralelas cortadas por una transversal forman ocho ángulos. Estos ángulos también tienen nombres que los identifican:

Ángulos Internos: los ángulos  < 3, <4, <5, <6 se llaman ángulos internos porque se encuentran entre las dos rectas paralelas.

Ángulos Externos: los ángulos<1, <2, <7y <8se llaman ángulos externos porque se encuentran fuera de las dos rectas paralelas.

Ángulos Alternos: los ángulos alternos son aquellos que se encuentran en lados opuestos de la transversal. En la fig <1y <7,           <4 y <6,          <2 y <8, <3 y <5

 

Ángulos Correspondientes: son aquellos que se encuentran en una misma posición con respecto a las paralelas y a la transversal, pero en distinto punto de intersección en la Fig.           <1 y <5,          <4 y <8,                                 <2 y <6,      6 y 7.

Como conoces los ángulos internos, externos y alternos, ¿cuáles son los alternos internos de la Fig.? ¿Por qué?

Ángulos Alternos Internos: son aquellos que están dentro de las paralelas y en lados opuestos de la transversal. Son dos ángulos no contiguos ni adyacentes. En la Fig. <4 y <6              <3 y <5  son alternos internos

Ángulos Alternos Externos: Son aquellos que están fuera de las paralelas y en lados opuestos de la transversal. Son dos ángulos no contiguos ni adyacentes. En la fig <1 y <7,                         <2y<8          son alternos externos.

Ángulos Conjugados: Es aquel par de ángulos que se encuentra a un mismo lado de la transversal, teniendo en cuenta que se encuentran entre las paralelas o fuera de ellas.

*    Son conjugados internos porque se encuentran entre las paralelas y a un mismo lado de transversal.

Ellos son: <3 y <6,         <4 y <5.

*    Son conjugados externos porque se encuentran fuera de las paralelas y a un mismo lado de transversal.

Ellos son: <1 y <8,         <2 y <7.

Observación: Los ángulos correspondientes, alternos internos, alternos externos y los conjugados  tienen la misma medida.